ラマヌジャン - 自堕落系徒然日記

ラマヌジャンが発見した円周率の計算式
$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)! \cdot (1103+26390n)}{(396^n \cdot n!)^4}$

を使って、ためしに円周率を計算してみよう。
とりあえず数項使って。

まずシグマの中を。

$s_0 = \frac{0! \cdot (1103 + 0)}{(396^0 \cdot 0!)^4} = 1103$
$s_1 = \frac{4! \cdot (1103 + 26390 \cdot 1)}{(396^1 \cdot 1!)^4} = \frac{659832}{24591257856}$
$s_2 = \frac{8! \cdot (1103 + 26390 \cdot 2)}{(396^2 \cdot 2!)^4} = \frac{2172562560}{9675679407044507467776}$

よって部分和は
$\pi_0 = \frac{99^2}{2 \sqrt{2}} \frac{1}{1103} = 3.141592(7300...)$
$\pi_1 = \frac{99^2}{2 \sqrt{2}} \{ 1103 + \frac{659832}{24591257856} \}^{-1} = 3.141592653589793(8779...)$
$\pi_2 = \frac{99^2}{2 \sqrt{2}} \{ 1103 + \frac{659832}{24591257856} + \frac{2172562560}{9675679407044507467776} \}^{-1} = 3.14159265358979323846264(9065)$
(括弧内は誤差を含む桁)

たった３項計算するだけで誤差が10のマイナス24乗オーダーになった。
ラマヌジャンすげー。