オイラーの30

日記 数学

id:mzp:20080512より
Problem 30 - PukiWiki

これは6桁までの探索でよい。
理由。

n桁の最大の数は99999...999 = 10^n-1 (9がn個)
このとき、5乗の和も最大になって、 \sum^n {9^5}=59049n

前者のほうが増大が早いので、比較してみると
10^n-1 \ge 59049n
10^n \gt 59049n　両辺の対数をとると
n \gt \log n + \log 59049
n - \log n \gt 4.77..

5 - log 5 = 4.30...なので、

n \ge 6になると、もはや和は元の数を追い抜けなくなってしまう。