無限根号 - 自堕落系徒然日記

結城先生のとこの、

$\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}}}$ の収束値を求めよ。

っていう問題。

追記：
リンク忘れてた・・・
結城先生のブログ

直感の解答

$M = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}}}$ と置く。
また、Mが極限を持ち、正の値をとると仮定する。

両辺を自乗すると、
$M^2 = 2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}}$ 　右辺の根号全体を置き換えると
$M^2 = 2 M$
$M^2 - 2M = 0 \to M = 0, 2$
ゆえに、 $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}}}=2$

厳密な解答

$a_0 = \sqrt{2 }, a_1 = \sqrt{2 \sqrt{2 }} \cdots$ のとき $\lim_{n \to \infty}{a_n}$ を求める。

漸化式は： $a_{i+1} = \sqrt{ 2 a_i } (i \ge 0)$ 　両辺対数を取ると
$\log{a_{i+1}} = \frac{1}{2} ( \log{2} + \log{a_i})$ 　 $A_i = \log{a_i}$ とすると
$A_{i+1} = \frac{1}{2} ( \log{2} + A_i)$

$\alpha = \frac{1}{2} ( \log{2} + \alpha)$ （補助方程式
$\to \alpha = \log{2}$ (補助方程式の解

$A_{i+1} - \log{2} = \frac{1}{2} ( A_i - \log{2})$ （補助方程式の解より
$A_i - \log{2} = \frac{1}{2^{i}}(A_0 - \log{2}) \to A_i = \frac{1}{2^{i}}(A_0 - \log{2}) + \log{2}$
$\lim_{n \to \infty}{A_n} = 0 + \log{2} = \log{2}$
ゆえに、 $\lim_{n \to \infty}{a_n} = e^{\log{2}} = 2$

感想

直感の解答は、パズル的でワクワクするけど、足元がおぼつかない感じ。
厳密な解答は、ちゃんと収束することも分かるけど、やっぱりちょっと重たい。