立方体切断パズル

結城浩さんの日記のネタ。

一辺の長さが1の立方体を平面で切断します。うまく切断すると、断面が正六角形になりますね。鏡像や回転を同一視しないで、別のものとして数えることにしますと、断面が正六角形になる切り方は一通りではありません。

(1) 断面が正六角形になる切り方は何通りあるでしょうか。

(2) その切り方をすべて使って立方体を切り刻んだとき、全部で何個の「かけら」に分解されることになるでしょうか。

(3) どのような形の「かけら」が何個できるか、内訳を簡単に説明してください。

(4) 「かけら」の体積を計算して、その総和が立方体の体積（つまり1）に一致することを示してください。

以下自分なりの解答。

(1)

この形のスライスは向かい合う頂点に垂直な、二頂点の中点を通る面での切断になるので、立方体の8頂点の配置から、4通りになる。

(2),(3)

頂点を含む立体が8つ、面心を含む立体が6つの合計14個。
頂点のほうは、直角二等辺三角形3枚と正三角形でできた帽子をかぶせた、正四面体(水色)。
面のほうは、正三角形4枚と正方形でできたピラミッド型(黄色)。

(4)

元の立方体の辺の長さをaとおく。(最初から1に置くとミスしやすい)

ピラミッド型(黄色)

底面積がで高さがの錐なので、

帽子付正四面体(水色)

底面が、一辺がの正三角形、高さがの錐に等しいので、

全体の体積

となり、立方体の体積と一致。